数学の本質は､その自由性にあり…｢普通の無限｣と｢でっかい無限｣をみつけた天才カントールのすごい発想 ｢究極の自由人｣が数学界のタブーを打ち破った

「究極の自由人」天才数学者カントールの大発見

自然数の無限、偶数の無限のような「数の無限」を研究した草分け的な数学者がいます。その人こそ、“究極の自由人”ゲオルグ・カントールです。

彼は当時の保守的な数学界にありながら、自由に振る舞い、自分の道を突き進み、ゼロから新しい数学を築きあげました。

そのカントールがたどり着いたのが、数学界でタブー視されていた無限の世界だったのです。

彼が最初に取り組んだのは、先ほどお見せしたような無限どうしの比較でした。自然数と偶数はどちらも同じ大きさでしたよね。

カントールは次に、無限に存在する「有理数」の個数について考え始めました。

皆さんは有理数を覚えていますか？　有理数は簡単に言うと、分数で表せる数のことです。たとえば、21／20、6／5、3／2、7／4などです。

さて、これらの分数を小数で表すと、次のようになりますね。

何かに気づきましたか？　そうです。この分数はどれも1より大きく2より小さい数なのです。

このことから、自然数の個数と有理数の個数を比べたら、有理数の方が圧倒的に多そうですよね。

「有理数」と「自然数」の個数は同じ

では、自然数と偶数のときのように、自然数と有理数をひとつずつ結んでいきましょう。

と言いたいのですが、有理数は一筋縄ではいきません。というのも、自然数1と結びつける有理数を決めるのが難しいからです。

偶数のときは、自然数1と偶数2を結びつけました。これは、0の隣の偶数が2だからです。

では、0の隣の有理数はいったい何なのでしょうか？　1／100でしょうか？　ですが、それよりも1／1000の方が0に近いです。そして、1／1000よりも1／10000の方が0に近いでし、1／100000の方がさらに0に近いです。

つまり、どれだけ0に近い有理数をもってきても、それよりさらに0に近い有理数が存在するので、自然数1と結びつける有理数を決めるのは難しいのです。

そこで“究極の自由人”カントールは次のように、非常に巧みな方法で有理数を並べ、自然数とジグザグに結びつけたのです（1と1／1、2と2／1、3と1／2、4と1／3、5と3／1、……と結んでいく）。

出所＝『笑わない数学』

このようにして、表をジグザグに進んでいくと、すべての有理数が、自然数と1対1で結ばれます！

なんと、有理数の個数も、自然数の個数に等しいことがわかりました。