図形上にある「特別な点」を探す旅

BSD予想と比べたらとても簡単な問題を何問か考えてみましょう。

問題
方程式x²＋y²＝2で表される円周上には、座標の値がともに整数である点はいくつあるか。

2つの座標の値がともに整数である点を「整点」と呼びます。方程式x²＋y²＝2が表す円周の図をよく見てみると、どうも

（x，y）＝（1，1）、（－1，1）、（－1，－1）、（1，－1）

の4個の整点がありそうです。

【図表2】BSD予想とは②
『笑わない数学2』より

実際に計算してみると、

・1²＋1²＝2……OK！
・（－1）²＋1²＝2……OK！
・（－1）²+（－1）²＝2……OK！
・1²＋（－1）²＝2……OK！

となり、この4点は円x²＋y²＝2の上にあります。

そして、x²＋y²＝2を満たす整数の組（x，y）は、この4つしかないこともわかります。

では、次の問題はどうでしょうか？

問題
方程式x²＋y²＝2で表される円周上には、座標の値がともに有理数である点はいくつあるか。

問題文は、先のものとよく似ていますね。ただ一カ所だけ、「座標がともに整数」のところが「座標がともに有理数」に変わっています。整点と同じように、2つの座標の値がともに有理数である点を「有理点」と呼びます。この問題は、どう考えたらいいでしょうか？

まず、整点A（1，1）は有理点の1つです。実は、この点を通り、傾きが有理数である直線Lを考えると、この直線Lと円周x²＋y²＝2の交点は必ず有理点になります。さらに、傾きが有理数である直線は無限個あることがわかっていますので、グラフ上の座標が有理数になる点もまた無限個ある、というわけなんです。

【図表3】BSD予想とは③
『笑わない数学2』より

ある図形の上にある有理点を（すべて）見つけよ、という問題は「有理点を求める問題」と呼ばれています。

古代ギリシャ時代から天才たちが夢中になった

……なんだか退屈そうな問題だな、って？　確かに、そう見えるかもしれません。

でも実は、この「有理点を求める問題」は、古代ギリシャの時代に誕生して以降、いろいろな方程式の整数解に挑んだフェルマーや、「笑わない数学」の常連中の常連であるオイラーやガウスなど、数々の天才たちが夢中になって取り組んだ、数学における一大テーマなんです！

数学史に詳しいマーカス・デュ・ソートイ博士は、有理点を求める問題の重要性をこう語ります。

「私たち数学者は、現在に至るまで2000年もの間、有理点を求める問題に夢中になってきました。有理点の問題は、決して何かの役に立つわけではないものの、数学の新しいアイデアをもたらす源となってきたのです。」

みなさん、グラフ上の有理点を求めるという、なんだか退屈にも見える問題が意外に大事なのかもということ、なんとなく感じていただけましたか？