急がば回れ「確率」の問題は樹形図で確実に解く

「樹形図」を使った問題を取り上げたい。ご存じのように樹形図とは、物事を順番に書き出していくテクニックだ。

ある刑務所にABC3人の死刑囚がいて、恩赦が実施され、1人だけが釈放されることになった。このとき釈放される確率はみな同じ3分の1だ。そして囚人Aが「BとCのうちどちらが死刑になるか教えてもらえませんか？」と看守に尋ねた。すると看守は「そのくらい正直に教えても問題ないだろう」と考え、「Bは死刑だよ」とAに耳打ちした。

これを聞いてAは喜んだ。Bの死刑が確実になったので、釈放されるのは自分かCのどちらかだからだ。つまり「自分が釈放される確率が3分の1から2分の1にアップした」と思ったのである。では「このAの解釈は正しいか？」というのが今回の問いである。

もしも、あなたが「その通り」と考えたのなら間違いだ。正解は「Aが釈放される確率は3分の1のまま」である。不思議に感じるかもしれないので、どういうことかを見ていこう。これは「ベイズの定理」という確率論を使って証明できるのだが、難解なので樹形図を活用する。大事なポイントは、すべてのパターンを書き出す「場合分け」をきっちり行うことだ。

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さて、図のようにABCのうち恩赦を受けるのは1人だけである。そうすると最初に3パターンの場合分けができる。A、B、Cの3人のうちの誰かが恩赦で、恩赦の確率はそれぞれ3分の1だ。