説明できる？比例式"内項の積＝外項の積" 小学生にも理解しやすい！

「比例式」についてご説明したい。小学校のお子さんがいる方なら「子どもにどう教えるか」という観点から読んでいただくのもよいだろう。

比例式とは、「A：B＝C：D」のように、比が等しいことを表した式をいう。

比例式には、「内項（BとC）の積と外項（AとD）の積は等しい」という性質がある。つまり、「A：B＝C：Dのとき、B×C＝A×D」という公式が成り立つ。実例として「5：4＝10：8」で確かめてみると、「内項の積は4×10＝40、外項の積は5×8＝40」で確かに等しい。

ちなみに比例式の「内項の積と外項の積は等しい」という性質は、公立小学校の教科書には載っていない（中学1年生の教科書に載っている）。しかし、小学生でも簡単に理解できるので、小学生のお子さんがいる方は、この性質を教えてあげるとよいだろう。

たとえば、「2：5＝□：7」のような問題が公立小学校のテストにも出題される。これを解くには、「等しい比の性質」を使う。

等しい比には2つの性質がある。A：Bのとき、AとBに同じ数をかけても、同じ数で割っても、比は等しい。たとえば、「3：2」にそれぞれ「5」をかけると「15：10」になる。「8：12」をそれぞれ「4」で割ると「2：3」になる。

したがって、「7÷5＝1.4」なので、5を1.4倍すると7になる。同じように、2を1.4倍して、□は「2×1.4＝2.8」とわかる。

しかし、ここで比例式の性質を知っていれば、内項の積と外項の積は等しくなるので、「2×7＝14」だから、「14÷5＝2.8」と答えを出せる。このほうが小学生には理解しやすい。どちらの解き方も使えるようになれば、テストなどでより力を発揮できるだろう。

ちなみに、内項の積と外項の積はなぜ等しいのか、読者の方々は理由をご存じだろうか。せっかくなので説明しておきたい。

「A：B＝C：Dのとき、A：BとC：Dの比の値は等しいから、A／B＝C／Dとなる。両辺にB×Dをかけると、A／B×B×D＝C／D×B×Dとなり、A×D＝B×Cとなる。したがって比例式の内項の積と外項の積は等しくなる」

では、次の問題にトライしてみてほしい。

「A社とB社の営業利益の比は5：8である。A社の営業利益が12億円のとき、B社の営業利益はいくらか？」

解き方は2つある。等しい比の性質を利用したものと、内項の積と外項の積は等しいという性質を使ったものだ。

まず、「5：8＝12：□」とおく。前者の性質を使うと、「12÷5＝2.4」だから、「8×2.4＝19.2」（19億2000万円）となる。一方、後者の性質を使うと、「8×12＝96」だから、「96÷5＝19.2」（19億2000万円）となる。

どちらの性質を使ったほうが簡単に解けるかは、問題によって変わってくる。だから、どちらがベストな解き方ということではなく、両方の解き方を知っておくとよいだろう。

（構成＝田之上信）