いろいろな数値を集めると、統計上ある法則が成り立つ

数学のおもしろネタをご紹介したい。「ベンフォードの法則」というのをお聞きになったことはあるだろうか。おそらくほとんどの読者がご存じないと思う。

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ベンフォードの法則とは、デジタル分析テクニックの1つで、1930年代に米ゼネラル・エレクトリック社の物理学者フランク・ベンフォードによって開発されたもの。「自然界にあるいろいろな数値を一定数集めて計算すると、統計上ある法則が成り立つ」というのが、ベンフォードの法則の内容である。

具体的には、企業の売上高、株価、自治体の人口、電気や水道などの公共料金、納税額、河川の長さ、山の標高などの数値の集合が、この法則にあてはまる。

数学的に説明するには、対数（log）を使った高度な計算が必要になる。高校で習ったという読者の方もたぶんお忘れだと思うので、ここでは詳述を省くが、要は次のようなことが成り立つのである。

自然界にあるさまざまな数値、たとえば株価ならば100円、250円、600円、1780円、3200円、5500円、1万2000円、2万4000円といった額の一番左の数字（3ケタなら百の位、4ケタなら千の位）は、1～9のうち「1」が30.1％、「2」が17.6％、「3」が12.5％というように、それぞれの数字で出現する確率が決まっているのだ（図参照）。

数字が小さいほど出現確率が高く、大きくなるにしたがい確率は低くなる。1～3で全体の60.2％を占める。なんとも不思議な感じがする法則だが、実際に確率を求めるとそうなのだ。