「モンティ・ホール問題」というのをご存じだろうか。1960~70年代の米国の人気クイズ番組からきたもので、その名物司会者がモンティ・ホールさんだった。そして、有名になった最後の難関が「3つの扉」というゲームだったのだ。

3つの扉の1つだけに賞品が入っており、挑戦者は3分の1の確率で賞品を手に入れられる。挑戦者がまず扉を選ぶ。が、ここで魔の誘惑が待っている。モンティさんが残り2つの扉のうち、1つを開けるのだ。もちろん彼はそれがハズレだと知っている。

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図を使って考えてみよう

最後に残った2つの扉。ここで彼はささやく。「もう1つの扉に変えてもいいですよ」と。もし、そこであなたが「確率は2分の1だから、どっちを選んでも同じだろう」と考えたとすれば、それは早計だ。選択を変えたほうが当たる可能性は高くなるからである。どういうことか、3つのカップを使って説明しよう(図参照)。

選択1・2・3とある。1番上の段が最初の可能性で、いずれも当たる確率は3分の1だ。次に2段目。モンティさんがハズレのカップを開け(×印)、悪魔のささやきをする。あなたが選択を変えない場合、当たる確率は3分の1だ。

一方、あなたが選択を変えたとする。それが3段目の状態だ。図をよく見てほしい。あなたが賞品を当てる確率は3分の2に倍増するのだ! つまり、モンティさんの悪魔のささやきに耳を傾けたほうが当たる確率は高くなるのだ。

同じことをカップを100個にして考えてみよう。100個のカップのうち1つに賞品が入っている。そのなかからあなたは1つを選ぶ。このときにあなたが当たる確率は100分の1。残り(99個)が当たる確率は100分の99である。さて、カップ3個のときと同じように、モンティさんはカップを次々と開けていく。彼は当たりを知っていて、98個目までハズレだった。

いま残っているカップはあなたの1個と、モンティさんが開けなかった1個だ。そう、選択を変えなければあなたの当たる確率は100分の1のままで、選択を変えると当たる確率は100分の99。状況がよく理解できないときは、数字を極端に大きくしたり、逆に極端に小さくすることで本質が見えてくることがある。

モンティ・ホール問題のポイントは、もともとは3択だったのを、最後の2択の場面だけで考えてしまった点にある。何事も過去を含めた全体像を見ることが大切ということを覚えておきたい。